ナンバープレートの数字で10を作るゲーム

メイクテン(MAKE 10)とか、テンパズル(Ten Puzzle)と言うゲームです。

高速道路のような単調な道路を、前車を追走する格好で走っていると暇になります。
そんなときに、頭のなかでナンバープレートの4つの数字で10を作るゲームをすると、暇つぶしになります。

遅い車につくとつい追い越しをしたくなりますが、10が出来なければ追い越しをしないなんて決めておくと、イライラが少なくなるかもしれません。

ルールは単純

• 4つの数字を全部使う
  ナンバープレート［･･19］は、0019とみなします。
• 数字の順番は自由に並べ替えて良い
  例えば［･･19］は、0019　0091　0109　0190　0901　0910　1009　1090　1900　9001　9010　9100と同じことになります。
• 算数の記号は、四則演算＋－ｘ÷と括弧（）に限る
  括弧は二重、三重にかさねても良い
  ルート（√）やべき乗（2の^3乗）や階乗（!）などを使ってはいけません。
• 2と3で23のように数字をくっつけて2桁にしてはいない
  数字の連結を認めると、さらに70個の組み合わせが出来るようになります。
  たとえば3669は10になりませんが、36÷9+6=10　は成立します。
  （これはルールが違う別のゲームになります）
• 答えは一つとは限らない
  ルールに従っていれば、どれでも正解です。
  例えば3468は次のように6つの解があり、全部正解です。

2568の例を示します

2568は、たくさんの解き方が出来ますので、例を示します。

• 10を作って残りの数字で1が出来ればかける、ゼロなら足す
  (2+8)=10なので「5と6」で0か1を作れば良い
  ⇒ (2+8) x (6-5)
• 足して10になる組み合わせを探す
  8+2ができそう、「2と5と6」で2を作れば良い
  2x(6-5)=2 あるいは　6/(5-2)=2 または　5-6/2=2　なので それそれを組み合わせて
  ⇒ 8+2x(6-5)=10　8+6/(5-2)=10　8+5-6/2=10
• 5×2の形を作る
  5があるので、「2と6と8」で2を作れば良い
  6-8/2=2　だから　⇒　5x(6-8/2)=10
• 40を作って4で割る、50を作って5で割る
  (5×8)=40だから「2と6」で4を作れば良い
  ⇒(5×8)/(6-2)=10
  (6×8)+2=50だから5で割れば良い
  ⇒(6×8+2)/5=10
• 18を作って8を引く
  「2と5と6」で18を作れる　(5-2)x6=18のでここから8を引く
  ⇒(5-2)x6-8=10
• すごい上級技だが、8を0.8で割る
  「2と5と6」で0.8を作る。2-(6/5)=(10-6)/5=4/5=0.8になる。
  ⇒8/(2-6/5)=10
• 2568では作れないが、64-54のような形もある
  たとえば6889で、8×8-6×9=10とか。

解があるのは1万個の中の7984個

0000から9999まで1万個の組み合わせがありますが、このルールで10が作れるのは7984個です。
残りの2016個では、10を作ることができません。

つまり、路上で車のナンバープレートをみたら、約80%は解けるのですが、20%は解けない問題になります。

1万個の組み合わせがありますが、上に示したように［0019］と［1090］は並べ替えて同じ数値とみなします。
このような同じ数値になる組み合わせを除くと、1万個の組み合わせから、たったの715個の組み合わせだけが残ります。

この715個のうち10が作れるのは552個、10にならないのは163個です。

ABCD型は必ず解ける

解けない問題で考えているのは時間の無駄なので、必ず解ける条件を一つ教えましょう。

ABCD型の組み合わせは、必ず10が作れます。
便宜的にABCD型と書きましたが、4つの数字が全て異なり、0（ゼロ）を含まない組み合わせのことです。

たとえば、1234　9876　9182　などです。
このナンバーを見つけたら、しぶとく考えてみましょう。

解法は9パターンに分けられる

a+b=10

もっとも基本的な方法で、10の補数を作ります。
9+1　8+2　7+3　6+4　などの組み合わせをつくります。
1234を漫然と眺めるのではなく
(1+2)と(3+4）で3+7=10ととらえます。
一般的に、大きな数字に着目するとうまくいくことが多いです。
1167　7+(6/(1+1))=7+3=10
2669　9+(2-6/6)=9+1=10
7778　8+((7+7)/7)=8+2=10
1334　(3+3)+(4×1)=6+4=10
3458　(3+4)+(8-5)=6+4=10

(a+b)+0=10

10ができたら、残りの数字で0を作って加える。
2038　(2+8)+(3×0)=10+0=10
1207　(1+2+7)x0=10+0=10

(a+b)x1=10

10ができたら、残りの数字で1を作ってかける。
2778　(2+8)x(7/7)=10×1=10
1569　(1+9)x(6-5)=10×1=10
1334　(3+3+4)x1=10×1=10

5×2=10

5と2を作れば5×2の形で10になります。
3456　5x(4-6/3)=5×2=10
2336　(2+3)x(6/3)=5×2=10
3789　(8-3)x(9-7)=5×2=10

（10a)/a=10　40/4=10 とか 70/7=10

10の倍数を作ってから一桁落とすテクニックです。
2578　(5+7+8)/2=20/2=10
3335　((3+3)x5)/3=30/3=10
6699　((6+9)x6)/9=90/9=10

ある数字をAとしたときに、AAA9の組み合わせは、必ず（A+Ax9)÷A=10の形が成立します。
式を整理すると　(A+9A)/A=10A/A=10　になるので当然です。
たとえば、4449であれば、(4+4×9)÷4=40/4=10　という具合です。

(10+a)-a=10　17-7=10 とか　13-3=10

14を作って4を引く、17を作って7を引くような形です。
2487　(2×7+4)-8=18-8=10
2679　(2+6+9)-7=17-7=10

一桁が同じ数字の引き算　64-54=10

6889　8×8-6×9=64-54=10
4678　6×7-4×8=42-32=10

割り切れない帯分数　10/3 とか 10/7を作ってから消す

1236　(2-1/3)x6=(5/3)x6=10
1377　(1+3/7)7=(7+3)/7×7=10/7×7=10

整数を一桁小さい小数で割る　2/0.2 とか 6/0.6 のかたち

この技は、かなり高等な手段なので、普通の人ではなかなか思いつかないでしょう。
0125　2/0.2を作ります　2÷(1÷5)+0=10
2335　6/0.6を作ります　(2×3)÷(3÷5)=10

上の例は、簡単な別解があるものを示しましたが、分数を使わないと解けない問題もあります。
こいつらは、本当に難題です。

10が作れる組み合わせリスト

青文字は、かなり難しいです。
赤文字は、ものすごく難しいです。

青文字と赤文字は下に解答を示しています。

この枠は、０があるので、2個の数字で10ができれば、余った数字はゼロ倍して足せば処理できる場合があります。
0139　(1+9)+3×0=10
0256　(2×5)+6×0=10
0558　(5+5)+8×0=10

この枠は、1があるので、他の数字2つあるいは3つで10ができれば、最後に1倍すればOKです。
1128　(2+8)x1x1=10
1226　(2+2+6)x1=10

2は5倍すると10になるので、5を作るのが狙い目です。
2229　(9-(2+2))x2=10
2445　((4-4)+5))x2=10
2467　(4+(7-6))x2=10

10が作れない組み合わせ

次の数字の組み合わせは、四則演算のルールでは、10が作れません。

二桁の数字は、25以外は、足して10になる組み合わせしか10になりません。

3桁はたくさんあります。

1000番台では、二桁連結が許されるなら、下の18個の組で10が作れます。
11-1/1　12-(1+1)　1113　11-2/2　1159　1169　11-7/7　11-(8-7)　1179　11-8/8　1399　44/4-1　1499　66/6-1　1667　1677　1699　77/7-1

2000番代で10が作れないのは、2257だけです。
二桁連結すれば、22-(5+7)=10　になります。

二桁連結が許されれば　下の3個は10が出来ますが、正規ルールでは違反になります。
44-34　6+36/9　73-7×9

4000番台で出来ないのは、6個の組み合わせです。
二桁連結が許されるなら下の3個は10が出来ますが、正規ルールでは反則になります。
(44-4)/4　4+54/9　(47-7)/4

5000番台では、4個だけです。
これらは、二桁連結を許しても10は出来ません。

6000番台は、6666～6999まで、20個の組み合わせがあります。
そのうち、8個が10になりません。
二桁連結を許せば、4個が10になります。
(66-6)/6　76-66　(67-7)/6　77-67

7000番台の組み合わせは10個ですが、半分しか10が作れません。
二桁連結を許せば、7999以外は下のように10が出来ます。
(77-7)/7　(78-8)/7　97-87　88-78　(79-9)/7

8000番台の組み合わせは4個しかありません。8888　8889　8899　8999
この中で8899だけが、10が作れません。
8899は、二桁連結が許されるなら　(89-9)/8=10　ですが、ここのルールでは反則になります。

9000番台は、すべて解がありますが難しいです。
と言っても、9000番代の組み合わせは、9999だけなんですけどね。

難問の解答例

青字の問題の解答例

• 2266　6+4の形を作る　6+(2+6)÷2=10
• 2389　20を作って2で割る　(3+8+9)÷2=10
• 3339　30を作って3で割る　(3+3×9)÷3=10
• 3399　9+1の形　9+(9÷(3×3))=10
• 3466　30を作って3で割る　(4×6+6)÷3=10
• 4469　5×2の形　(9-4)x(6-4)=10
• 4779　40を作って4で割る　(7×7-9)÷4=10、14-4の形でも良い　(9-7)x7-4=10
• 5557　35-25を作る　(5×7)-(5×5)=10
• 5568　40-30を作る　(5×8)-(5×6)=10
• 5667　17-7の形　(5+6+6)-7=10
• 6788　8+2の形　8+(6+8)÷7=10
• 7889　8+2の形　8+((7+9)÷8)=10
• 8888　8+2の形　8+((8+8)÷8)=10
• 9999　90を作って9で割る　(9×9+9)÷9=10

赤字の問題の解答例

• 1158　8/0.8を作る　8÷(1-1÷5)=10
• 1199　10/9を作って9倍する　(1+1÷9)x9=10
• 1337　10/3を作って3倍する　(1+7÷3)x3=10
• 3478　10/8を作って8倍するのだが実際は5/4であり、
  これは超難しい。　(3-7÷4)x8=10
• 4669　60を作って6で割る　4x(6+9)÷6=10
• 5579　45-35にするのだがなかなか思いつかないな　(5×9)-(5×7)=10
  70を作って7で割るのは別解　((5+9)x5)÷7=10
• 6699　90を作って9で割る　6x(6+9)÷9=10

全問の解答一覧表があります。