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ナンバープレートの数字で10を作るゲーム(難問解答付き)

ナンバープレートの数字で10を作るゲーム(難問解答付き)

ナンバープレートの数字で10を作るゲーム

メイクテン(MAKE 10)とか、テンパズル(Ten Puzzle)と言うゲームです。

高速道路のような単調な道路を、前車を追走する格好で走っていると暇になります。
そんなときに、頭のなかでナンバープレートの4つの数字で10を作るゲームをすると、暇つぶしになります。

遅い車につくとつい追い越しをしたくなりますが、10が出来なければ追い越しをしないなんて決めておくと、イライラが少なくなるかもしれません。

ルールは単純

  • 4つの数字を全部使う
    ナンバープレート[・・19]は、0019とみなします。
  • 数字の順番は自由に並べ替えて良い
    例えば[・・19]は、0019 0091 0109 0190 0901 0910 1009 1090 1900 9001 9010 9100と同じことになります。
  • 算数の記号は、四則演算+-x÷と括弧()に限る
    括弧は二重、三重にかさねても良い
    ルート(√)やべき乗(2の3乗)や階乗(!)などを使ってはいけません。
  • 2と3で23のように数字をくっつけて2桁にしてはいない
    数字の連結を認めると、さらに70個の組み合わせが出来るようになります。
    たとえば3669は10になりませんが、36÷9+6=10 は成立します。
    (これはルールが違う別のゲームになります)
  • 答えは一つとは限らない
    ルールに従っていれば、どれでも正解です。
    例えば3468は次のように6つの解があり、全部正解です。

2568の例を示します

2568は、たくさんの解き方が出来ますので、例を示します。

  • 10を作って残りの数字で1が出来ればかける、ゼロなら足す
    (2+8)=10なので「5と6」で0か1を作れば良い
    ⇒ (2+8) x (6-5)
  • 足して10になる組み合わせを探す
    8+2ができそう、「2と5と6」で2を作れば良い
    2x(6-5)=2 あるいは 6/(5-2)=2 または 5-6/2=2 なので それそれを組み合わせて
    ⇒ 8+2x(6-5)=10 8+6/(5-2)=10 8+5-6/2=10
  • 5×2の形を作る
    5があるので、「2と6と8」で2を作れば良い
    6-8/2=2 だから ⇒ 5x(6-8/2)=10
  • 40を作って4で割る、50を作って5で割る
    (5×8)=40だから「2と6」で4を作れば良い
    ⇒(5×8)/(6-2)=10
    (6×8)+2=50だから5で割れば良い
    ⇒(6×8+2)/5=10
  • 18を作って8を引く
    「2と5と6」で18を作れる (5-2)x6=18のでここから8を引く
    ⇒(5-2)x6-8=10
  • すごい上級技だが、8を0.8で割る
    「2と5と6」で0.8を作る。2-(6/5)=(10-6)/5=4/5=0.8になる。
    ⇒8/(2-6/5)=10
  • 2568では作れないが、64-54のような形もある
    たとえば6889で、8×8-6×9=10とか。

 

解があるのは1万個の中の7984個

0000から9999まで1万個の組み合わせがありますが、このルールで10が作れるのは7984個です。
残りの2016個では、10を作ることができません。

つまり、路上で車のナンバープレートをみたら、約80%は解けるのですが、20%は解けない問題になります。

1万個の組み合わせがありますが、上に示したように[0019]と[1090]は並べ替えて同じ数値とみなします。
このような同じ数値になる組み合わせを除くと、1万個の組み合わせから、たったの715個の組み合わせだけが残ります。

この715個のうち10が作れるのは552個、10にならないのは163個です。

ABCD型は必ず解ける

解けない問題で考えているのは時間の無駄なので、必ず解ける条件を一つ教えましょう。

ABCD型の組み合わせは、必ず10が作れます。
便宜的にABCD型と書きましたが、4つの数字が全て異なり、0(ゼロ)を含まない組み合わせのことです。

たとえば、1234 9876 9182 などです。
このナンバーを見つけたら、しぶとく考えてみましょう。



解法は9パターンに分けられる

a+b=10

もっとも基本的な方法で、10の補数を作ります。
9+1 8+2 7+3 6+4 などの組み合わせをつくります。
1234を漫然と眺めるのではなく
(1+2)と(3+4)で3+7=10ととらえます。
一般的に、大きな数字に着目するとうまくいくことが多いです。
1167 7+(6/(1+1))=7+3=10
2669 9+(2-6/6)=9+1=10
7778 8+((7+7)/7)=8+2=10
1334 (3+3)+(4×1)=6+4=10
3458 (3+4)+(8-5)=6+4=10

(a+b)+0=10

10ができたら、残りの数字で0を作って加える。
2038 (2+8)+(3×0)=10+0=10
1207 (1+2+7)x0=10+0=10

(a+b)x1=10

10ができたら、残りの数字で1を作ってかける。
2778 (2+8)x(7/7)=10×1=10
1569 (1+9)x(6-5)=10×1=10
1334 (3+3+4)x1=10×1=10

5×2=10

5と2を作れば5×2の形で10になります。
3456 5x(4-6/3)=5×2=10
2336 (2+3)x(6/3)=5×2=10
3789 (8-3)x(9-7)=5×2=10

(10a)/a=10 40/4=10 とか 70/7=10

10の倍数を作ってから一桁落とすテクニックです。
2578 (5+7+8)/2=20/2=10
3335 ((3+3)x5)/3=30/3=10
6699 ((6+9)x6)/9=90/9=10

ある数字をAとしたときに、AAA9の組み合わせは、必ず(A+Ax9)÷A=10の形が成立します。
式を整理すると (A+9A)/A=10A/A=10 になるので当然です。
たとえば、4449であれば、(4+4×9)÷4=40/4=10 という具合です。

(10+a)-a=10 17-7=10 とか 13-3=10

14を作って4を引く、17を作って7を引くような形です。
2487 (2×7+4)-8=18-8=10
2679 (2+6+9)-7=17-7=10

一桁が同じ数字の引き算 64-54=10

6889 8×8-6×9=64-54=10
4678 6×7-4×8=42-32=10

割り切れない帯分数 10/3 とか 10/7を作ってから消す

1236 (2-1/3)x6=(5/3)x6=10
1377 (1+3/7)7=(7+3)/7×7=10/7×7=10

整数を一桁小さい小数で割る 2/0.2 とか 6/0.6 のかたち

この技は、かなり高等な手段なので、普通の人ではなかなか思いつかないでしょう。
0125 2/0.2を作ります 2÷(1÷5)+0=10
2335 6/0.6を作ります (2×3)÷(3÷5)=10

上の例は、簡単な別解があるものを示しましたが、分数を使わないと解けない問題もあります。
こいつらは、本当に難題です。

 

10が作れる組み合わせリスト

青文字は、かなり難しいです。
赤文字は、ものすごく難しいです。

青文字と赤文字は下に解答を示しています。

0019 0025 0028 0037 0046 0055 0115 0118 0119 0124 0125 0126 0127 0128 0129 0133 0135 0136 0137 0138 0139 0145 0146 0147 0149 0155 0156 0159 0169 0179 0189 0199
0223 0224 0225 0226 0227 0228 0229 0234 0235 0237 0238 0239 0244 0245 0246 0247 0248 0249 0255 0256 0257 0258 0259 0266 0267 0268 0278 0288 0289
0334 0337 0339 0346 0347 0349 0355 0356 0357 0358 0367 0368 0377 0378 0379
0446 0449 0455 0456 0458 0459 0466 0467 0468 0469 0477 0488
0555 0556 0557 0558 0559 0568 0569 0578 0579 0669 0679 0688 0779 0789 0889 0899 0999

この枠は、0があるので、2個の数字で10ができれば、余った数字はゼロ倍して足せば処理できる場合があります。
0139 (1+9)+3×0=10
0256 (2×5)+6×0=10
0558 (5+5)+8×0=10

 

1114 1115 1116 1117 1118 1119 1123 1124 1125 1126 1127 1128 1129 1133 1134 1135 1136 1137 1138 1139 1144 1145 1146 1147 1148 1149 1155 1156 1157 1158 1166 1167 1168 1189 1199
1222 1223 1224 1225 1226 1227 1228 1229 1233 1234 1235 1236 1237 1238 1239 1244 1245 1246 1247 1248 1249 1255 1256 1257 1258 1259 1266 1267 1268 1269 1277 1278 1279 1288 1289 1299
1333 1334 1335 1336 1337 1338 1339 1344 1345 1346 1347 1348 1349 1355 1356 1357 1358 1359 1366 1367 1368 1369 1377 1378 1379 1388 1389
1445 1446 1447 1448 1449 1455 1456 1457 1458 1459 1466 1467 1468 1469 1477 1478 1479 1488 1489
1555 1556 1557 1558 1559 1566 1567 1568 1569 1577 1578 1579 1588 1589 1599 1668 1669 1678 1679 1688 1689 1778 1779 1788 1789 1799 1888 1889 1899 1999

この枠は、1があるので、他の数字2つあるいは3つで10ができれば、最後に1倍すればOKです。
1128 (2+8)x1x1=10
1226 (2+2+6)x1=10

 

2222 2223 2224 2225 2226 2227 2228 2229 2233 2234 2235 2236 2237 2238 2239 2244 2245 2246 2247 2248 2249 2255 2256 2258 2259 2266 2267 2268 2269 2277 2278 2279 2288 2289 2299
2333 2334 2335 2336 2337 2338 2339 2344 2345 2346 2347 2348 2349 2355 2356 2357 2358 2359 2366 2367 2368 2369 2377 2378 2379 2388 2389 2399
2444 2445 2446 2447 2448 2449 2455 2456 2457 2458 2459 2466 2467 2468 2469 2477 2478 2479 2488 2489 2499
2555 2556 2557 2558 2559 2566 2567 2568 2569 2577 2578 2579 2588 2589 2599 2666 2667 2668 2669 2677 2678 2679 2688 2689 2699 2777 2778 2779 2788 2789 2799 2888 2889 2899 2999

2は5倍すると10になるので、5を作るのが狙い目です。
2229 (9-(2+2))x2=10
2445 ((4-4)+5))x2=10
2467 (4+(7-6))x2=10

 

3333 3334 3335 3336 3337 3338 3339 3344 3345 3346 3347 3348 3349 3355 3356 3357 3358 3359 3366 3367 3368 3369 3377 3378 3379 3388 3389 3399
3445 3446 3447 3448 3449 3455 3456 3457 3458 3459 3466 3467 3468 3469 3477 3478 3479 3488 3489 3499
3555 3556 3557 3558 3559 3566 3567 3568 3569 3577 3578 3579 3588 3589 3599 3666 3667 3668 3677 3678 3679 3688 3689 3699 3777 3778 3788 3789 3799 3888 3889 3899

 

4445 4446 4447 4448 4449 4455 4456 4457 4458 4466 4467 4468 4469 4478 4479 4488 4489 4499
4555 4556 4557 4559 4566 4567 4568 4569 4577 4578 4579 4588 4589 4599
4666 4667 4668 4669 4677 4678 4679 4688 4689 4699 4777 4778 4779 4788 4789 4799 4888 4889

 

5555 5556 5557 5558 5559 5566 5567 5568 5569 5577 5578 5579 5588 5589 5599 5666 5667 5669 5677 5678 5679 5688 5689 5699 5777 5778 5779 5789 5888 5889 5999
6668 6669 6678 6679 6688 6689 6699 6779 6788 6789 6799 6889
7778 7779 7889 7899
8888 8889 8999
9999

 

10が作れない組み合わせ

次の数字の組み合わせは、四則演算のルールでは、10が作れません。

0000 0001 0002 0003 0004 0005 0006 0007 0008 0009 0011 0012 0013 0014 0015 0016 0017 0018 0022 0023 0024 0026 0027 0029 0033 0034 0035 0036 0038 0039 0044 0045 0047 0048 0049 0056 0057 0058 0059 0066 0067 0068 0069 0077 0078 0079 0088 0089 0099

二桁の数字は、25以外は、足して10になる組み合わせしか10になりません。

0111 0112 0113 0114 0116 0117 0122 0123 0134 0144 0148 0157 0158 0166 0167 0168 0177 0178 0188 0222 0233 0236 0269 0277 0279 0299 0333 0335 0336 0338 0344 0345 0348 0359 0366 0369 0388 0389 0399 0444 0445 0447 0448 0457 0478 0479 0489 0499 0566 0567 0577 0588 0589 0599 0666 0667 0668 0677 0678 0689 0699 0777 0778 0788 0799 0888

3桁はたくさんあります。

1111 1112 1113 1122 1159 1169 1177 1178 1179 1188 1399 1444 1499 1666 1667 1677 1699 1777

1000番台では、二桁連結が許されるなら、下の18個の組で10が作れます。
11-1/1 12-(1+1) 1113 11-2/2 1159 1169 11-7/7 11-(8-7) 1179 11-8/8 1399 44/4-1 1499 66/6-1 1667 1677 1699 77/7-1

2257

2000番代で10が作れないのは、2257だけです。
二桁連結すれば、22-(5+7)=10 になります。

3444 3669 3779 3999

二桁連結が許されれば 下の3個は10が出来ますが、正規ルールでは違反になります。
44-34 6+36/9 73-7×9

4444 4459 4477 4558 4899 4999

4000番台で出来ないのは、6個の組み合わせです。
二桁連結が許されるなら下の3個は10が出来ますが、正規ルールでは反則になります。
(44-4)/4 4+54/9 (47-7)/4

5668 5788 5799 5899

5000番台では、4個だけです。
これらは、二桁連結を許しても10は出来ません。

6666 6667 6677 6777 6778 6888 6899 6999

6000番台は、6666~6999まで、20個の組み合わせがあります。
そのうち、8個が10になりません。
二桁連結を許せば、4個が10になります。
(66-6)/6 76-66 (67-7)/6 77-67

7777 7788 7789 7799 7888 7999

7000番台の組み合わせは10個ですが、半分しか10が作れません。
二桁連結を許せば、7999以外は下のように10が出来ます。
(77-7)/7 (78-8)/7 97-87 88-78 (79-9)/7

8899

8000番台の組み合わせは4個しかありません。8888 8889 8899 8999
この中で8899だけが、10が作れません。
8899は、二桁連結が許されるなら (89-9)/8=10 ですが、ここのルールでは反則になります。

9000番台は、すべて解がありますが難しいです。
と言っても、9000番代の組み合わせは、9999だけなんですけどね。

難問の解答例

青字の問題の解答例

  • 2266 6+4の形を作る 6+(2+6)÷2=10
  • 2389 20を作って2で割る (3+8+9)÷2=10
  • 3339 30を作って3で割る (3+3×9)÷3=10
  • 3399 9+1の形 9+(9÷(3×3))=10
  • 3466 30を作って3で割る (4×6+6)÷3=10
  • 4469 5×2の形 (9-4)x(6-4)=10
  • 4779 40を作って4で割る (7×7-9)÷4=10、14-4の形でも良い (9-7)x7-4=10
  • 5557 35-25を作る (5×7)-(5×5)=10
  • 5568 40-30を作る (5×8)-(5×6)=10
  • 5667 17-7の形 (5+6+6)-7=10
  • 6788 8+2の形 8+(6+8)÷7=10
  • 7889 8+2の形 8+((7+9)÷8)=10
  • 8888 8+2の形 8+((8+8)÷8)=10
  • 9999 90を作って9で割る (9×9+9)÷9=10

赤字の問題の解答例

  • 1158 8/0.8を作る 8÷(1-1÷5)=10
  • 1199 10/9を作って9倍する (1+1÷9)x9=10
  • 1337 10/3を作って3倍する (1+7÷3)x3=10
  • 3478 10/8を作って8倍するのだが実際は5/4であり、
    これは超難しい。 (3-7÷4)x8=10
  • 4669 60を作って6で割る 4x(6+9)÷6=10
  • 5579 45-35にするのだがなかなか思いつかないな (5×9)-(5×7)=10
    70を作って7で割るのは別解 ((5+9)x5)÷7=10
  • 6699 90を作って9で割る 6x(6+9)÷9=10

全問の解答一覧表があります。



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